第１回：オイラーの無限解析
第２回：オイラーの無限解析その２
第３回：絶対収束と条件収束
第４回：リーマンのゼータ関数とルーシェの定理
第５回：円周率の計算と無限級数
無限級数の話をオイラーから始めます。高校数学の数列や無限級数の例などを用いてオイラーがいかに卓越した才能があったかを知ると思います。無限級数において絶対収束が有効であること、また無限級数を用いてリーマンのゼータ関数や円周率の計算などに触れていきます。
第６回：関数列の極限の性質
第７回：εーδ論法と一様収束
第８回：関数列の極限と定積分
第９回：関数列の極限および関数項級数
第１０回：立ち止まって整理する
関数列の極限を考えます。連続な関数列の極限関数も連続になるのか。もし必ずしもそうでないとすれば、どういう条件が必要になるかを問題にします。同じように、関数列の定積分の極限と極限関数の定積分は一致するか（つまり、lim と ∫ の順序は交換可能か）なども考えます。ここで大切になる条件が一様収束というものです。そしてその理論を展開するにあたって、ε－δ論法が重要になってきます。
第１１回：実数の連続性
第１２回：実数の連続性その２
第１３回：Cauchyの収束条件・集積点
第１４回：Heine-Borelの被覆定理
第１５回：関数の連続性
関数列や関数の無限級数を考えるにあたって、いくつかの定理が必要になってきますが、それらは実数の連続性を認めることからスタートします。実数の連続性には4つのスタイルがあって、そのどれを公理として認めてもいいわけです。数学は絶対的な真理を扱っているように思われますが、根本に立ち返ると、証明をせず、万人が認めてくれる公理からスタートした理論体系となります。
第１６回：平均値の定理
第１７回：ロピタルの定理
第１８回：リーマン積分
第１９回：可測集合とルベーグ積分
第２０回：ルベーグ積分と関数解析
高校の数学Ⅲの教科書では微分の理論として平均値の定理があります。高校では図形的に理解させていますが、ある区間で常に f’(x)>0 であれば f(x) は常に増加するという最も基本的な内容の証明です。テイラー展開やロピタルの定期の話も出てきます。続く積分では、高校で習うリーマン積分の本質とその欠点を述べ、ルベーグ積分や集合の測度の必要性が出てきます。最後に関数の集合を考え、関数列の極限や積分と極限の順序交換においてルベーグ積分の役割が重要です。
第２１回：複素変数の関数と１次変換
第２２回：複素変数の指数関数と三角関数
第２３回：複素変数の対数関数と指数式
第２４回：複素微分と正則関数
第２５回：複素積分
複素数を変数とする関数の内容になります。初めは高校でも取り扱う1次変換と呼ばれる分数関数です。ここでは等角写像と円から円への対応がポイントです。複素数でも三角関数や指数関数はありますが、指数法則とテイラー展開を満たすようにまず複素変数の指数関数を定義します。そこから三関数を定義し、逆関数として対数関数になります。次に複素微分になりますが、正則性という言葉が重要です。我々が普通に関数と考えているものは正則性を持っており、複素関数としては大きな縛りがあります。でもそれだけに内容はすっきりした結果につながっていきます。
第２６回：コーシーの積分定理
第２７回：コーシーの積分定理（２）
第２８回：コーシーの積分表示とテーラー展開
第２９回：リュービルの定理と一致の定理
第３０回：有理関数のローラン展開
いよいよ複素関数論の本丸である「コーシーの積分定理」に進みます。証明の方法はいくつかありますが、グリーンの定理を使います。次はコーシーの積分表示という内容ですが、
f(z) の値は z を取り囲む周囲の値で決定されるというものです。それを活用して正則関数はテーラー展開できます。その次は「一致の定理」です。正則関数は、例えば実軸上の［0 , 1］ という狭い範囲において収束する相異なる無限個の点列があり、そこでの関数の値が決まれば2次元である複素平面全体を定義域とする関数を決定できるという内容です。ここに正則関数の特徴がよく表れています。さらに、正則でない点におけるローラー展開の話へと続きます。
第３１回：留数
第３２回：無限遠点
第３３回：無限遠点における留数
第３４回：解析接続
第３５回：解析学とは
正則関数は閉曲線上を積分すると０になりますが、その中に特異点がある場合、留数の値が残ります。テイラー展開、ローラン展開との関係を考えていきます。無限大∞のとらえ方は実数の場合と異なり、複素平面では無限遠点∞として、１つの存在として考えます。留数定理の拡張でこの∞を考えるメリットが示されます。最後は今までの中で、特に注目すべき点を述べ、次のステップ（代数）を目指すつもりです。
お知らせ
2025年12月15日 ホームページを公開いたしました。
2026年3月4日 第26-30回を追加しました。
2026年4月9日 第31-35回を追加しました。